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Theorie der Kurven doppelter Krümmung. Indem man die Thatsache ins Auge faßt, daß eine solche Kurve durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes einer Ebene dargestellt wird, so ergiebt sich als Analogon im Raume die Theorie der Oberflächen, indem diese als durch eine Viagra online rezeptfrei zwischen den Koordinaten eines Punktes im Raume darstellbar betrachtet werden, auf welche Betrachtung wir im Vorhergehenden eingegangen sind. Wenn man viagra online rezeptfrei eine ebene Kurve als eine Reihe von einfach unendlich vielen Punkten ansieht, so kann man die Theorie ausdehnen, indem man die Beschränkung aufhebt, daß diese in einer Ebene gelegen seien dann entsteht die Theorie der unebenen Kurven.

Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht genug mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von denjenigen, die für die {72} ebenen Kurven angewandt werden. Deshalb wurde dasselbe, wie ich schon sagte, vor mehr als einem Jahrhundert von Clairaut unternommen und wurde hernach von Lancret (1774-1807),449 Monge,450 Tinseau,451 de Saint-Venant (1797-1886),452 viagra online rezeptfrei Frenet,453 Alfred Serret454 und Paul Serret, von Liouville (1809-1882),455 Bertrand,456 von Puiseux (1820-1883),457 von Lie458 und vielen anderen fortgesetzt.

Man vermutete eine Zeit lang, daß jede Kurve im Raume als der vollständige Schnitt zweier Oberflächen angesehen werden und daher durch ein System von zwei Gleichungen zwischen den Koordinaten eines Punktes im Raume dargestellt werden könnte;460 aber bald erkannte man die Existenz von Kurven, die nicht der vollständige Schnitt von Oberflächen sind, und die Viagra rezeptfrei weltweit kaufen, dieselben nicht vermittelst zweier, {73} sondern dreier Gleichungen darzustellen, die ebenso vielen viagra online rezeptfrei dieselbe hindurchgehenden Oberflächen entsprechen.

Man setzte voraus, daß die Kenntnis der Ordnung zur Einteilung der unebenen Kurven hinreichen würde, aber sobald man an die vierte Ordnung gekommen war, erkannte man, daß dieselbe nicht genüge. So kam man denn zu dem Schlusse, daß es unmöglich sei, eine gegebene Kurve viagra online rezeptfrei einer bestimmten Menge von vornherein angebbarer Zahlen zu charakterisieren. Ich habe diese Thatsachen anführen wollen, um zu zeigen, daß die allgemeine Theorie der unebenen Kurven keine Ähnlichkeit mit irgend einem anderen Teile der Geometrie zeigt und, indem ich auf die erschreckliche Dunkelheit, die sie darbietet, hinwies, dem Leser das Mittel geben wollen, den Grund zu finden, warum die Kenntnisse, die wir über diese Gebilde haben, so wenig zahlreich und erst neueren Ursprunges sind.

Die ersten allgemeinen Resultate über die Kurven doppelter Krümmung verdanken wir Cayley, welcher ihnen zwei wichtige Abhandlungen gewidmet hat. In einer derselben stellte er die Formeln (analog denen von Plücker) auf, welche die Zahl der Singularitäten einer Raumkurve {74} untereinander verbinden.

Diese beiden Arbeiten verschlingen sich so enge und durchdringen sich so innig, daß es sehr schwer wird, zu entscheiden, welcher Anteil viagra online rezeptfrei der beiden Autoren in den vielen gemeinsamen {75} Resultaten zufällt, die sie enthalten. Wenn einerseits Nöther die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von Halphen in den _Comptes rendus_ und an anderen Stellen466 ausgesprochen sind, ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Sätze bedienen, welche in der sehr bedeutenden Abhandlung von Brill und Nöther, _Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie_467 enthalten sind, und in derjenigen, in welcher Nöther streng den Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung von Halphen unumgänglich notwendig war.

Jedenfalls steht es außer Zweifel, daß diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt sind, die Grundlage für die zukünftigen geometrischen Untersuchungen zu bilden, und wenn bis jetzt sich ihr Einfluß noch nicht so allgemein geltend gemacht hat, so ist dieses vorzugsweise den großen Schwierigkeiten zuzuschreiben, die ihr Gegenstand noch immer darbietet, und vielleicht auch den Lücken, die in den Methoden vorhanden sind, die viagra sport online zu Hilfe nehmen könnte, um jene zu überwinden.